Применение теории фракталов на фондовом рынке. Фрактальный анализ

Фрактальный анализ финансовых рынков- это относительно новый способ прогнозирования поведения валютных курсов на рынке . Вместо механических систем и индикаторов, данный вид анализа использует совершенно новый подход на основе фракталов. Благодаря чему стал не просто альтернативой техническому анализу, но и позволил избавиться от его недостатков. Прежде чем говорить о самом фрактальном анализе, нужно понять, на чем он основывается:

На самом деле провёл огромную работу, прежде чем заявить о том, что рынки на самом деле находятся в постоянном движении, которое похоже на движение хаотичных систем и вовсе не являются линейными, как это считалось ранее. По этой же причине Билл Вильямс утвердительно заявил, что глупо анализируя хаотичный рынок отталкиваться в выводах от обычных, линейных индикаторов. Ведь хаотичное движение на рынке - постоянно, а стабильность наоборот - переменчива. Если приводить примеры, то можно сказать, что цены на зерно, хлопок или акции, а так же движение воды в трубе или крови имеют идентичную структуру.

Впоследствии, метод фрактального анализа рынка получил широкое распространение среди очень многих трейдеров, благодаря таким книгам Вильямса, как «Торговый Хаос», «Торговый Хаос второе издание» и «Новые измерения в биржевой торговле».

Фрактальный анализ рынка форекс

Несмотря на положительные результаты такого анализа, следует помнить, что этот анализ не отрабатывает на 100%. Здесь так же присутствуют ошибочные сигналы, поэтому не стоит применять его в чистом виде - это, прежде всего, ещё один способ анализа, который может стать для трейдера основным или дополнительным. Так же трейдеру необходимо учитывать, что применяя этот вид анализа, ему понадобится освоить технику соединения таймфреймов для своей стратегии. Техника синтеза так же была введена Биллом Вильямсом, который применял её только к трендовым позициям, основываясь на трендах старшего таймфрейма.

Кроме этого важным моментом в этом виде анализа является «фрактальный рычаг» - глубина отката предыдущего движения. Для измерения этого движения (фрактального рычага) необходимо растянуть сетку Фибоначи на последнее движение. Если откат по сетке меньше 38% - это сильный фрактальный рычаг и уверенное движение. Если откат больше и составляет 62% по сетке Фибоначи, то фрактальный рычаг небольшой, а движение очень слабое.

Так как фрактальный анализ в том виде как есть, эффективен не на 100%, большинство трейдеров используют его совместно с волнами Эллиота. Ведь фрактал - это, по сути, разворотная точка, где образуется начало или окончание очередной волны. Сам Билл Вильямс в книге «Торговый хаос» рекомендует использовать эти волны. Но так как правильно рассчитать волны достаточно сложно, то новичку так же будет очень сложно сделать правильный прогноз с использованием фракталов без определённого опыта в определении волн. Поэтому для начинающих необходимо что-то более простое, например, трендовые линии.

Как начать применять фрактальный анализ?

Начинающему трейдеру необходимо сначала научится делать не большие, кратковременные прогнозы, так как для них необходимо меньше внешних данных. Для этого лучше использовать знакомую валютную пару, товар или другой актив с которым трейдер уже работал. Трейдеру необходимо составить прогноз и проследить оправдался он или нет. Если прогноз неверный, то трейдеру необходимо разобраться в причине того, почему так произошло. Найти, в чём кроется его ошибка, возможно, он не учёл что-то в своём анализе.

Если трейдер несколько раз сделал правильный прогноз и верно определил изменение цены, ещё до того как определённая им тенденция стала видна другим участникам - это отличный результат.

Более того, у начинающего трейдера есть преимущество. Так как брокеры предлагают своим клиентам демо счета с реальными рыночными котировками, начинающий трейдер может попрактиковаться, ни чем не рискуя.

Так же используя фрактальный анализ, трейдер должен уделять повышенное внимание факторам, сформировавшим цену в определённый промежуток времени. Это делается для того, что бы трейдер мог быть более уверенным в своём прогнозе. Ведь если социальные, политические и другие факторы совпадают, присутствует большая вероятность того, что цена поведёт себя точно так же, как и прежде, в подобной ситуации. Поэтому фрактальный анализ кроме знаний о формирования самого фрактала, требует от трейдера ещё и знания . Соответственно подучить хотя бы основы фундаментального анализа было бы очень кстати.

Фрактальный анализ рынка сложнее чем кажется на первый взгляд и требует от трейдера знания в различных областях анализа финансовых рынков: фундаментальный анализ (что уже само по себе сложно), синтез таймфреймов, экономические и другие индикаторы, которые в совместной работе фильтруют ложные сигналы и так далее. Но вместе с тем, фрактальный анализ даёт возможностьтрейдеру обнаружить взаимосвязь между прошлыми и будущими ценами. Что в свою очередь, позволяет более точно определить будущий подъём или падение цен раньше, чем остальные трейдеры. Так как они в основном ждут, когда рынок подтвердит свои намеренья.

Из-за своей сложности, такой анализ используется уже опытными и сильными трейдерами. Но с другой стороны разобраться в таком методе анализа стоит, потому что он настолько же эффективный, насколько и сложный.

Настоящая книга посвящена изложению гипотезы фрактального рынка, как альтернативе гипотезы эффективного рынка. Фракталы, как следствие геометрии Демиурга присутствуют повсеместно в нашем мире и играют существенную роль, в том числе, и в структуре финансовых рынков, которые локально случайны, но глобально детерминированы, по мнению автора. В книге будут рассмотрены методы фрактального анализа рынков акций, облигаций и валют, методы различения независимого процесса, нелинейного стохастического процесса и нелинейного детерминированного процесса и исследовано влияние этих различий на пользовательские инвестиционные стратегии и способности моделирования. Такие стратегии и способности моделирования тесно связаны с типом активов и инвестиционным горизонтом пользователя.

Для риск-менеджеров, финансистов, инвестиционных стратегов, технических аналитиков рынка, а также индивидуальных инвесторов и валютных спекулянтов самостоятельно выходящих на финансовые рынки мира, в том числе, и на рынок FOREX и рынки России.

В 1991 г. я закончил написание книги, озаглавленной «Хаос и порядок на рынках капитана». Она была опубликована осенью того года (Peters, 1991 а). Моя цель состояла в том, чтобы написать концептуальное введение для инвестиционного сообщества к теории хаоса и фрактальной статистике. Я также хотел представить некоторое предварительное свидетельство того, что вопреки принятой теории рынки не достаточно хорошо описываются моделью случайных блужданий, и широко представленная гипотеза эффективного рынка (Efficient Market Hypothesis - ЕМН) не достаточно хорошо подтверждается эмпирическими данными.

В общем, моя книга получила очень положительные отзывы. Многие читатели ее одобрили, хотя некоторые выразили свое неодобрение и задали подробные вопросы. Вопросы разделились на две категории:

(1) техническую и (2) концептуальную. В технической категории оказались вопросы с просьбой сообщить больше информации об анализе. Моя книга не была предназначена быть учебником и я пропустил многие технические подробности, задействованные в анализе. Такой подход улучшил удобочитаемость книги, но заставил многих читателей задаться вопросом: «Что же делать дальше?»

Во второй категории были вопросы, связанные с концептуальными проблемами. Если ЕМН имеет недостатки, то как можно ее исправить? Или, скорее, какова ее жизнеспособная замена? Как теория хаоса и фракталы сочетаются с торговыми стратегиями и с дихотомией технического и фундаментального анализов? Могут ли эти, казалось бы, несопоставимые теории быть объединены? Может ли традиционная теория стать нелинейной?

В этой книге я рассматриваю обе категории вопросов. Хотя книга отличается от предыдущей, тем не менее, она отражает многие схожие черты. Фрактальный анализ рынка - это попытка обобщить Теорию рынка капитала (Capital Market Theory - СМТ) и объяснить разнородность инвестиционного сообщества. Одна из неудач традиционной теории заключается в ее попытке упростить "рынок" до среднего прототипичного рационального инвестора. Причины для того, чтобы работать в этом направлении, были благородны. В традиции западной науки отцы-основатели СМТ попытались узнать что-что о целом, разделив проблему на ее основные составляющие. Попытка оказалась успешной. Благодаря дальновидной работе Марковица (Markowitz), Шарпа (Sharpe), Фамэ (Fama) и других мы добились огромных успехов за прошедшие 40 лет.

Однако, редукционистский подход имеет свои пределы и мы их достигли. Пришло время более целостно взглянуть на работу рынков. В частности, пришло время признать большую разнородность, лежащую в основе рынков. Участие всех инвесторов не обусловлено одной и той же причиной, при этом инвесторы не используют свои стратегии на одних и тех же инвестиционных горизонтах. Стабильность рынков неизбежно связана с разнородностью инвесторов. «Зрелый» рынок разнороден, так же как и стар. Если бы у всех участников был один и тот же горизонт инвестиций, если бы они одинаково реагировали на одну и ту же информацию и вкладывали бы капитал с одной и той же целью, повсюду правила бы нестабильность. Зрелые же рынки, напротив, обладают, в течение уже длительного времени, поразительной стабильностью. Дэйтрейдер может вести анонимную торговлю с пенсионным фондом: первый ведет частую торговлю ради краткосрочных прибылей; последний же торгует нечасто и ради долгосрочной финансовой безопасности. Дэйтрейдер реагирует на технические тенденции; инвестиции пенсионного фонда основываются на долгосрочном потенциале экономического роста. И все же, все действуют одновременно, и каждый диверсифицирует другого.

Данная книга не является рассказом, хотя основной акцент, все же, делается на концептуальных аспеюах. В рамках концептуальной структуры тщательно изучаются аналитические методы. Как и в предыдущей книге, я полагаю, каждый, кто обладает прочными знаниями в коммерческой статистике, найдет здесь много полезного. Основной акцент делается не на динамике, а на эмпирической статистике, т.е. на анализе временного ряда для определения того, с чем мы имеем дело.

Год выпуска : 2004

Жанр : финансы, forex-форекс, трейдинг

Издательство : «Интернет-трейдинг»

Формат : DjVu

Качество : Отсканированные страницы

Количество страниц : 304

Описание : Пришло время более целостно взглянуть на работу рынков. В частности, пришло время признать большую разнородность, лежащую в основе рынков. Участие всех инвесторов не обусловлено одной и той же причиной, при этом инвесторы не используют свои стратегии на одних и тех же инвестиционных горизонтах. Стабильность рынков неизбежно связана с разнородностью инвесторов. «Зрелый» рынок разнороден, так же как и стар. Если бы у всех участников был один и тот же горизонт инвестиций, если бы они одинаково реагировали на одну и ту же информацию и вкладывали бы капитал с одной и той же целью, повсюду правила бы нестабильность. Зрелые же рынки, напротив, обладают, в течение уже длительного времени, поразительной стабильностью. Дэйтрейдер может вести анонимную торговлю с пенсионным фондом: первый ведет частую торговлю ради краткосрочных прибылей; последний же торгует нечасто и ради долгосрочной финансовой безопасности. Дэйтрейдер реагирует на технические тенденции; инвестиции пенсионного фонда основываются на долгосрочном потенциале экономического роста. И все же, все действуют одновременно, и каждый диверсифицирует другого. Редукционистский подход, с его рациональным инвестором, не может справиться с такой разнородностью без сложных многоэлементных моделей, которые напоминают хитроумное изобретение Руба Гольдберга (Rube Goldberg). Эти модели, характеризующиеся многочисленными ограничивающими предположениями и требованиями, неизбежно терпят неудачу. Они настолько сложны, что испытывают недостаток гибкости, а гибкость является решающим фактором в любой динамической системе.
Первая цель этой книги состоит в том, чтобы представить фрактальную гипотезу рынка - основную переформулировку того, как и почему функционируют рынки. Вторая цель книги состоит в том, чтобы представить инструменты для анализа рынков в рамках фрактальной структуры. Многие существующие инструменты могут использоваться с этой целью. Я представлю новые инструменты, которые аналитики смогут добавить в свой набор, а также рассмотрю уже существующие инструменты.
Данная книга не является рассказом, хотя основной акцент, все же, делается на концептуальных аспектах. В рамках концептуальной структуры тщательно изучаются аналитические методы. Как и в предыдущей книге, я полагаю, каждый, кто обладает прочными знаниями в коммерческой статистике, найдет здесь много полезного. Основной акцент делается не на динамике, а на эмпирической статистике, т.е. на анализе временного ряда для определения того, с чем мы имеем дело.

Фракталы занимает меня всё больше и больше. 🙂 Первое упоминание о них я встретил в книгах Насима Талеба и . А далее погрузился в предмет, прочитав книгу Бенуа Мандельброта . Под впечатлением этих произведений я даже предпринял несколько небольших исследований:

Представляю вам еще одну книгу на эту тему. Здесь больше математики, чем в предыдущих произведениях, но я постараюсь не переусердствовать…

Скачать краткий конспект в формате

Глава 1. Введение во фрактальные временные ряды

Западная культура долгое время была одержима гладким и симметричным. Фрактальная геометрия – геометрия Демиурга. В отличие от евклидовой геометрии она основывается на грубости и асимметрии. «Самоподобия» является определяющим свойством фракталов. Большинство естественных структур, особенно живые существа, обладают этим свойством. Вторая проблема, возникающая при применении евклидовой геометрии к нашему миру, – это проблема размерности. …восприятие размерности может изменяться в зависимости от нашего расстояния от объекта. Мы увидим разницу между гладкостью евклидового мира и грубостью нашего мира, что ограничивает пригодность евклидовой геометрии как метода описания.

Конфликт между симметрией евклидовой геометрии и асимметрией реального мира может быть далее продлен до нашего понятия времени . Традиционно, события рассматриваются либо как случайные, либо как детерминированные. Во фрактальном времени случайность и детерминизм, хаос и порядок сосуществуют. Кажется, что и великие события зависят от случая. Однако, подобные теории развивают параллельно несколько ученых. Это подразумевает, что этим открытиям было предназначено случиться. Этого требовала история.

Время не имело значения в ньютоновой механике; теоретически, время могло быть повернуто в обратную сторону, потому что уравнения Ньютона работали одинаково хорошо независимо от того, шло ли время вперед или назад. В тоже время такой процесс, как смешение жидкостей – процесс зависящий от времени и необратим . В термодинамике стрелка времени указывает только в будущее. Первый удар был нанесен по представлению о вселенной как о часовом механизме.

Второй удар был нанесен с появлением квантовой механики. Осознание того, что молекулярная структура вселенной может быть описана только состояниями вероятности, еще более подорвала детерминистическое представление. Но все еще оставалось сомнение. Вселенная детерминирована или случайна? Постепенно стало очевидным, что самые естественные системы характеризуются локальной случайностью и глобальным детерминизмом. Эти противоположные состояния должны сосуществовать. Детерминизм даст нам закон природы. Случайность привносит новшество и разнообразие. Здоровая, развивающаяся система – это та, которая не только может пережить случайные удары, но также может поглотить такие удары, чтобы улучшить всю систему, когда это станет целесообразно.

Мы подошли к третьему удару по детерминизму Ньютона: наука хаоса и фракталов, где случайность и необходимость сосуществуют. В этих системах энтропия высока, но никогда не достигает максимального состояния беспорядка из-за глобальною детерминизма. Хаотические системы экспортируют свою энтропию или «рассеивают» ее, аналогично тому, как механические устройства рассеивают часть своей энергии как трение.

Игра хаоса показывает, что локальная случайность и глобальный детерминизм могут сосуществовать, чтобы создать стабильную, самоподобную структуру, которую мы назвали фракталом.

Фактически не существует точного определения термина «фрактал». Бенуа Мандельброт, отец фрактальной геометрии, тоже не сформулировал точного определения. Фракталы имеют определенные особенности, которые измеримы, и свойства, которые являются желательными для целей моделирования. Первое свойство – самоподобие . Оно означает, что части в некотором роде связаны с целым. Это свойство самоподобия делает фрактал масштабно-инвариантным . Фрактальные зависимости имеют вид прямой на графиках, где обе оси имеют логарифмический масштаб. Модели, описываемые таким образом должны использовать степенную зависимость (вещественное число, возведенное в степень). Эта особенность масштабирования по степенному закону , является вторым свойством фракталов, фрактальной размерностью, которая может описывать либо физическую структуру, такую как легкое, либо временной ряд.

Фрактальная размерность характеризует то, как предмет заполняет пространство. Фрактальная размерность временного ряда измеряет, насколько изрезанным является временной ряд. Согласно ожиданиям прямая линия должна иметь, фрактальную размерность 1, равную ее евклидовой размерности (фрактальная размерность плоскости – 2). Фрактальная размерность случайною временного ряда составляет 1,5. …фрактальная размерность может быть решена как наклон графика в логарифмическом масштабе по обеим осям.

Фрактальная размерность временного ряда важна, потому что она признает, что процесс может быть где-то между детерминистическим (линия с фрактальной размерностью 1) и случайным (фрактальная размерность 1,5). Фактически, фрактальная размерность линии может находиться в пределах от 1 до 2. При значениях 1,5 < d < 2 временной ряд более зазубрен, чем случайная последовательность, или имеет больше инверсий. Само собой разумеется, статистика временного ряда с фрактальными размерностями, отличными от 1,5, сильно отличалась бы от гауссовой статистики и не обязательно находилась бы в пределах нормального распределения.

Глава 2. Несостоятельность гауссовой гипотезы

Фрактальная природа рынка акций выражается в том, что

а) кривые распределения прибылей существенно отличаются от гауссового колокола (рис. 1).

б) кривые 1-, 5-, 10-, 20-, 30- и 90-дневных прибылей выглядят одинаково: масштабно-инвариантны (рис. 2); видно, что для всех кривых характерен более высокий пик (вероятность средних значений выше, чем по нормальному распределению), провал чуть дальше от среднего значения (в районе 1–2 сигм), толстые хвосты – высокая вероятность экстремально больших отклонений (более 3 сигм).

Рис. 1. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, частотное распределение прибылей: 1888-1991 гг.; по оси абсцисс – число стандартных отклонений, по оси ординат – частота

Рис. 2. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, N-дневные прибыли за вычетом нормальной частоты; N = 1 (a), 10 (б), 20 (в), 30 (г)

Что это означает? Во-первых, риск наступления большого отклонения (черного лебедя) намного более высок, чем подразумевает нормальное распределение. Нормальное распределение говорит, что вероятность наступления события более трех стандартных отклонений составляет 0,5% или 5 на 1000. Рисунки же показывает, что фактическая вероятность составляет 2,4% или 24 на 1000. Во-вторых, однодневные трейдеры сталкиваются с тем же количеством событий шесть-сигма в своих временных рамках, с каким сталкиваются 90-дневные инвесторы в своих временных рамках.

Временная структура волатильности. Как правило, мы используем стандартное отклонение для измерения волатильности и предполагаем, что она подвергается масштабированию согласно квадратному корню из времени. Например, мы «пересчитываем на год» стандартное отклонение ежемесячных прибылей посредством умножения его на квадратный корень из 12. Эта практика происходит из наблюдения Эйнштейна, что расстояние, которое проходит частица в броуновском движении, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени, затраченному на ее измерение.

Квадратный корень из времени показан сплошной 45-градусной линией на рис. 3. Волатильность сначала увеличивается более быстрым темпом, чем квадратный корень из времени, а при N > 1000 дней наклон сильно падает к 0,25. Если мы думаем о риске как о стандартном отклонении, инвесторы несут больше риска, чем подразумевается стандартным отклонением для инвестиционных горизонтов менее четырех лет. Однако инвесторы несут все меньше риска на инвестиционных горизонтах более четырех лет. Как всегда было известно, долгосрочные инвесторы несут меньше риска, чем краткосрочные инвесторы.

Рис. 3. Индекс Доу-Джонса для акций промышленных компаний, временная структура волатильности: 1888-1990 гг.

С другой стороны, отношение прибыли к риску или «коэффициент Шарпа», названный по имени его создателя, Нобелевского лауреата Уильяма Шарпа, показывает, сколько прибыли получено на единицу риска, или стандартного отклонения. В течение периодов меньше 1000 дней или четырех лет коэффициент Шарпа постоянно уменьшается; на отметке в 1200 дней он резко увеличивается. Это означает, что долгосрочные инвесторы вознаграждены больше, на единицу риска, чем краткосрочные инвесторы.

Аналогично ведут себя и облигации. А вот валюта! …перед долгосрочными держателями валюты стоят постоянно возрастающие уровни риска по мере расширения их инвестиционного горизонта. В отличие от акций и облигаций валюта не предлагает никакого инвестиционного стимула для стратегии покупки и владения в течение длительного времени. В краткосрочной перспективе спекулянты на акциях, облигациях и на курсах валют сталкиваются со схожими рисками, но в долгосрочной перспективе риск инвесторов, вкладывающих капитал в акции и облигации, снижен.

Появление границ для акций и облигаций, но не для валюты, сначала озадачивает. Почему валюта является ценной бумагой, отличной от акций и облигаций? Этот вопрос уже содержит ответ. Валюта названа «ценной бумагой». Валюта – объект, которым торгуют, но она не является ценной бумагой. Она не имеет инвестиционной стоимости. Прибыль от валюты можно получить, только спекулируя на ее стоимости против стоимости другой валюты. Валюта, таким образом, эквивалентна чисто спекулятивным средствам, которые обычно приравниваются к акциям и облигациям. Акции и облигации не такие. Они имеют инвестиционную стоимость. Облигации приносят проценты, а стоимость акции привязана к росту ее дохода вследствие экономической деятельности. Совокупный фондовый рынок привязан к совокупной экономике. Валюта же не привязана к экономическому циклу. В 1950-х и 1960-х годах у нас была развивающаяся экономика и сильный доллар. В 1980-х годах у нас была развивающаяся экономика и падающий доллар. Валюта не имеет «фундаментальной» стоимости, которая обязательно связана с экономической деятельностью, хотя она может быть привязана к экономическим переменным, таким как процентные ставки.

Глава 3. Гипотеза фрактального рынка

что является формулой для стандартного отклонения. Нормированный размах был рассчитан путем первоначального изменения масштаба или «нормализации» данных, посредством вычитания выборочного среднего:

(4.4) Z r = (x r – x m); r = 1, … n

Полученный в результате ряд Z теперь имеет среднее, равное нулю.

Следующий шаг создает кумулятивный временной ряд Y:

То есть, r-тый член ряда Y равен сумме всех членов ряда Z, начиная с первого и заканчивая r-тым. Обратите внимание, что, по определению, последнее значение Y (Y n) всегда будет нулем, потому что Z имеет среднее значение, равное нулю. Скорректированный размах R n является разностью максимального и минимального значений ряда Y:

(4.6) R n = max(Y 1 , …, Y n) – min(Y 1 , …, Y n)

Нижний индекс n для R n теперь показывает, что это – скорректированный размах для x 1 , …, х n . Поскольку Y был скорректирован к среднему нулю, максимальное значение Y всегда будет больше или равно нулю, а минимальное значение всегда будет меньше или равно нулю. Следовательно, скорректированный размах R n всегда будет неотрицателен.

Этот скорректированный размах R n , является расстоянием, на которое перемещается система за показатель времени n . Если мы устанавливаем n = Т, мы можем применить уравнение (4.1) при условии, что временной ряд х независим для увеличения значений n . Однако уравнение (4.1) применимо только к временному ряду, который находится в броуновском движении: он имеет нулевое среднее и дисперсию, равную единице. Для применения этой концепции к временному ряду, который не находится в броуновском движении, нам необходимо обобщить уравнение (4.1) и принять во внимание системы, которые не являются независимыми. Херст обнаружил следующую более общую форму уравнения (4.1):

(4.7) (R/S) n = c*n H

Нижний индекс n для (R/S) n , относится к значению R/S для x 1 , …, х n ; с = константа.

Значение R/S уравнения (4.7) называется нормированным размахом, потому что оно имеет нулевое среднее и выражается в терминах местного стандартного отклонения. В общем, значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения нами приращения времени n согласно показателю степенной зависимости, равному Н, который обычно называется показателем Херста. Это называется масштабированием со степенной зависимостью . Опять же, это является характерной, хотя и не исключительной, чертой фракталов.

Показатель Херста может быть найден посредством вычерчивания log(R/S) n против log(n) и вычисления наклона через простую регрессию методом наименьших квадратов. В частности мы работаем на основе следующего уравнения:

(4.8) log(R/S) n = log(c) + H*log(n)

Если бы система была независимо распределена, то Н = 0,5. Херст сначала изучат реку Нил. Он обнаружил, что Н =0,91! Нормированный размах увеличивался быстрее, чем квадратный корень из времени. Он увеличивался как 0,91 корня из времени, что подразумевало, что система (в данном случае диапазон высоты Нила) проходила большее расстояние, чем проходил бы случайный вероятностный процесс. Для прохождения большего расстояния было необходимо, чтобы изменения в ежегодных нильских разливах влияли друг на друга.

Согласно первоначальной теории Н = 0,5 подразумевало бы независимый процесс. Важно понять, что R/S-анализ не требует, чтобы основной процесс был гауссов, он требует только, чтобы он был независим. Это, конечно, включало бы нормальное распределение, но также и негауссовы независимые процессы наподобие t-Стъюдента, гаммы или любой другой формы. R/S-анализ является непараметрическим, поэтому он не содержит требования к форме лежащего в основе распределения.

0,5 < Н < 1,0 подразумевает персистентиый временной ряд, который характеризуется эффектами долговременной памяти. Теоретически, то, что происходит сегодня, воздействует на будущее. В терминах хаотической динамики существует чувствительная зависимость от начальных условий. Такая долговременная память имеет место независимо от масштаба времени. Все ежедневные изменения соотнесены со всеми будущими ежедневными изменениями; все еженедельные изменения соотнесены со всеми будущими еженедельными изменениями.

0 < Н < 0,5 означает антиперсистентность . Такая систем проходит меньшее расстояние, чем случайная система. Чтобы система прошла меньшее расстояние, она должна меняться чаще, чем вероятностный процесс.

Как мы видели, персистентный временной ряд является самым распространенным типом, встречающимся в природе. Он также является самым распространенным типом на рынках капитала и в экономике.

Глава 5. Проверка R/S-анализа

При анализе любого процесса мы всегда сталкиваемся с одним важным вопросом: «Откуда мы знаем, что мы не получили наши результаты случайно?» Проверка значимости в отношении вероятностных доверительных интервалов стала одной из главных тем статистики. …первоначальное предположение называют нулевой гипотезой. Мы выбрали гауссов случай в качестве нулевой гипотезы, потому что с математической точки зрения легче проверить, является ли процесс случайным блужданием и иметь возможность сказать, что он таковым не является, чем доказать существование какого-то иного процесса с долговременной памятью. Почему? Гауссов случай позволяет находить оптимальные решения и легко моделируется. Кроме того, в основе гипотезы эффективного рынка (ЕМН) лежит гауссов случай, который по умолчанию становится нулевой гипотезой. Моделирование методом Монте-Карло показало необоснованность нулевой гипотезы.

Глава 6. Нахождение циклов: периодических и непериодических

R/S-анализ может не только выявить персистентность, или долговременную память, во временном ряде, но может также оценить длину периодических или непериодических циклов. Он также является устойчивым относительно шума. Это делает R/S-анализ особенно привлекательным для изучения естественных временных рядов и, в частности, рыночных временных рядов.

Дальнейшее изложение является слишком специальным и, на мой взгляд, будет полезно лишь профессиональным исследователям рынков акций, облигаций и валюты. Приведу лишь любопытные выводы одной из глав и заключительную главу.

Глава 12. Валюта: истинный процесс Херста

Валюта имеет интересные статистические и фундаментальные характеристики, которые отличают ее от других процессов. По существу, валюта не является ценной бумагой, хотя в отношении нее осуществляется активная торговля. Крупнейшие участники, центральные банки не представляют собой максимизаторов доходности; их цели не обязательно соответствуют целям рациональных инвесторов. В то же время на рынках валюты мало признаков циклов, хотя они действительно имеют сильные тренды.

На основании этих характеристик, взятых вместе, мы полагаем, что валюта – истинный процесс Херста. То есть она характеризуется процессами бесконечной памяти. Долгосрочные инвесторы должны опасаться относиться к валюте так, как они относятся к другим активам. В частности, они не должны предполагать, что стратегия с покупкой и длительным владением будет выгодна в долгосрочной перспективе. Риск увеличивается во времени и не уменьшается со временем. Долгосрочному инвестору, который должен иметь валютный риск, следует рассмотреть активную торговлю такими активами. Они не предлагают никакого преимущества в долгосрочной перспективе.

Глава 18. Понимание рынков

Эта книга имела две цели. Во-первых, я планировал ее как руководство по применению R/S-анализа к рынку капитала, экономическим данным и данным других временных рядов. R/S-анализ существует уже в течение более 40 лет. Несмотря на его устойчивость и общую применимость, он остается в значительной степени неизвестным. Он заслуживает места в комплекте инструментов любого аналитика наряду с другими инструментами, которые были разработаны в традиционном анализе и анализе хаоса.

Моя вторая цель заключалась в описании общей гипотезы для синтезирования различных моделей в когерентное целое. Эта гипотеза должна была согласовываться с эмпирическими фактами, используя минимальное количество основополагающих предположений. Я назвал свою модель гипотезой фрактального рынка (FMH). Я полагаю, что эта гипотеза является первой попыткой разобраться в глобальной структуре рынков. Со временем FMH будет, несомненно, видоизменена и усовершенствована, если она выдержит тщательную проверку инвестиционного сообщества. Я использовал несколько различных методов проверки FMH; выдающимся инструментом был R/S-анализ, используемый в комбинации с другими методами.

Стала появляться убедительная картина. R/S-анализ и гипотеза фрактального рынка вместе появились под общим заголовком «фрактальный анализ рынка». Фрактальный анализ рынка использовал самоподобные распределения вероятности, называемые устойчивыми распределениями Леви, в сочетании с R/S-анализом для изучения и классификации долгосрочного поведения рынков. Мы очень многое узнали, но остается еще многое исследовать. Я убежден, что рынки имеют фрактальную структуру. Как и в отношении любой другой фрактальной, временной или пространственной структуры, чем тщательнее мы исследуем структуру, тем больше деталей мы видим. Как только мы начинаем объяснять некоторые загадки, обнаруживаются новые неизвестные. Перед нами классический пример того, что чем больше мы знаем, тем больше мы понимаем, что мы ничего не знаем.

ИНФОРМАЦИЯ И ИНВЕСТИЦИОННЫЕ ГОРИЗОНТЫ

Мы обсуждали влияние информации на поведение инвестора. В традиционной теории информация рассматривается как родовое понятие. В большей или меньшей степени, она представляет собой все, что может затронуть воспринимаемую ценность ценной бумаги. Инвестор также является родовым понятием. В основном, инвестор – это любой, кто хочет купить, продать или держать ценную бумагу на основании доступной информации. Инвестор также считается рациональным – то есть кем-то, кто всегда хочет максимизировать прибыли и знает, как оценивать текущую информацию. Совокупный рынок является эквивалентом такого исходного рационального инвестора, так что рынок может немедленно оценивать информацию. Такой родовой подход, где информация и инвесторы являются общими случаями, также подразумевает, что все виды информации влияют на всех инвесторов одинаково. Вот здесь этот подход и терпит неудачу.

Рынок состоит из многих индивидуумов со многими различными инвестиционными горизонтами. Поведение дэйтрейдера существенно отличается от поведения пенсионного фонда. В первом случае инвестиционный горизонт измеряется в минутах; в последнем случае – в годах. Информация оказывает различное воздействие на различные инвестиционные горизонты. Основная деятельность дэйтрейдеров – торговля. Торговля обычно связана с поведением толпы и рассмотрением краткосрочных трендов. Дэйтрейдер будет более заинтересован технической информацией, что объясняет тот факт, почему многие технические специалисты говорят, что «рынок имеет свой собственный язык». Существует также большая вероятность того, что техники скажут, что фундаментальная информация имеет малую ценность. Большинство техников имеет короткие инвестиционные горизонты, и, в рамках их временного интервала, фундаментальная информация имеет малую ценность. В этом отношении они правы. Технические тренды имеют наибольшее значение для коротких горизонтов.

Наиболее фундаментальные аналитики и экономисты, которые также работают на рынках, имеют длинные инвестиционные горизонты. Они больше склонны иметь дело с экономическим циклом. Фундаментальные аналитики будут расположены думать о том, что технические тренды – это иллюзии, не представляющие пользы для долгосрочных инвесторов. Истинные инвестиционные прибыли могут быть получены только посредством оценки стоимости.

В этой структуре и техники, и фундаменталисты правы для своих определенных инвестиционных горизонтов, поскольку влияние информации в значительной степени зависит от инвестиционного горизонта каждого индивидуума.

СТАБИЛЬНОСТЬ

Стабильность рынка в значительной степени является вопросом ликвидности. Ликвидность доступна, когда рынок состоит из многих инвесторов со многими различными инвестиционными горизонтами. Таким образом, если поступает порция информации, которая вызывает серьезное снижение в цене в коротком инвестиционном горизонте, на рынок придут долгосрочные инвесторы, чтобы осуществить покупку, поскольку они не оценивают информацию так высоко. Тем не менее, когда рынок теряет эту структуру, и все инвесторы имеют один и тот же инвестиционный горизонт, рынок становится нестабильным, поскольку нет ликвидности. Ликвидность – это не то же самое, что и объем торговли. Это, напротив, балансирование спроса и предложения. Потеря долгосрочных инвесторов заставляет весь рынок торговать, основываясь на одном и том же информационном множестве, которое, прежде всего, является техническим, или на явлении поведения толпы. Как правило, рыночный горизонт становится краткосрочным, когда долгосрочная перспектива становится очень неопределенной – то есть, когда происходит некоторое событие (часто политическое), которое делает текущее долгосрочное информационное множество ненадежным или воспринимаемым как бесполезное. Долгосрочные инвесторы или прекращают участвовать, или становятся краткосрочными инвесторами и начинают торговать также на основании технической информации.

Рыночная стабильность полагается на разнообразие инвестиционных горизонтов участников. Стабильный рынок – это тот рынок, на котором многие инвесторы с различными инвестиционными горизонтами торгуют одновременно. Рынок устойчив, потому что различные горизонты оценивают информационный поток по-разному и могут обеспечить ликвидность, если происходит крах или паническое изъятие вкладов в одном из многих инвестиционных горизонтов.

Каждый инвестиционный горизонт похож на поколение ответвлений дерева. Диаметр любой ветви – случайная функция с конечной дисперсией. Однако каждая ветвь, взятая в контексте всего дерева, является частью глобальной структуры с неизвестной дисперсией, потому что размерность каждого дерева различна. Это зависит от многих переменных, таких как его вид и размер.

Каждый инвестиционный горизонт также является случайной функцией с конечной дисперсией, зависящей от предыдущей дисперсии. Поскольку риск в каждом инвестиционном горизонте должен быть одинаковым, при внесении поправки на масштаб форма частотного распределения прибылей одинакова. Однако общая, глобальная статистическая структура рынка имеет бесконечную дисперсию; долгосрочная дисперсия не стремится к устойчивому значению.

Глобальная статистическая структура фрактальна, поскольку она имеет самоподобную структуру, и ее характеристический показатель a (который также представляет собой фрактальную размерность) является дробным, варьируясь в пределах от 0 до 2. Случайное блуждание, которое характеризуется нормальным распределением, самоподобно. Однако оно не фрактально; его фрактальная размерность – целое число: a = 2,0.

Форма этих фрактальных распределений в сравнении с нормальным распределением характеризуется высоким пиком и толстыми хвостами. Толстые хвосты имеют место, поскольку крупное событие происходит в результате процесса усиления. Тот же самый процесс вызывает бесконечную дисперсию. Хвосты никогда не стремятся к асимптоте y = 0,0, даже в бесконечности. Кроме того, когда происходят большие события, они имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми. Таким образом, фрактальные распределения имеют еще одну фрактальную характеристику: прерывистость. Тенденция к «катастрофам» была названа Мандельбротом эффектом Ноя, или, более формально, синдромом бесконечной дисперсии. На рынках толстые хвосты вызываются крахами и паническими бегствами, которые имеют тенденцию быть резкими и прерывистыми, как предсказано моделью.

ДОЛГОВРЕМЕННАЯ ПАМЯТЬ

В идеальном мире традиционного анализа временных рядов все системы являются случайными блужданиями или могут быть преобразованы в случайные блуждания. В таком случае может быть применен «высший закон Неразумности», и могут быть найдены ответы. Вследствие такого наложения порядка на беспорядок естественные системы могут быть сведены к нескольким разрешимым уравнениям и одному основному частотному распределению – нормальному распределению.

Реальная жизнь не так проста. Дети Демиурга сложны и не могут быть классифицированы в соответствии с несколькими простыми характеристиками. Мы нашли, что на рынках капитала большинство рядов характеризуется эффектами долговременной памяти, или смещениями; сегодняшняя рыночная деятельность смещает будущую деятельность на очень долгое время. Подобный эффект Иосифа может вызвать серьезные проблемы для традиционного анализа временных рядов. Долговременная память вызывает появление трендов и циклов. Эти циклы могут быть ложными, поскольку они являются просто функцией эффекта долговременной памяти и случайного изменения в смещении рынка.

Посредством R/S-анализа было показано, что такой эффект долговременной памяти существует и является процессом черного шума. Цвет шума который вызывает эффект Иосифа, будет важен далее, когда мы будем обсуждать волатильность.

Долгое время существовало подозрение, что рынки имеют циклы, но убедительных доказательств не было обнаружено. Используемые методы искали правильные, периодические циклы – то есть циклы, созданные Благом. Демиург создал непериодические циклы – циклы, которые имеют средний, но не точный период. Используя R/S-анализ, мы смогли показать, что непериодические циклы вероятны для рынков. Такие непериодические циклы длятся в течение многих лет, так что существует вероятность того, что они являются последствием долгосрочной экономической информации. Мы нашли, что подобные непериодические циклы существуют для нелинейных динамических систем, или детерминированного хаоса.

Мы не нашли убедительного доказательства краткосрочных непериодических циклов. Большинство более коротких циклов, которые популярны среди техников, происходят, вероятно, вследствие эффекта Иосифа. Циклы не имеют средней длины, и смешение, которым они вызваны, может измениться в любое время – наиболее вероятно, резким и прерывистым образом.

Среди более интересных результатов можно выделить тот факт, что валюта не имеет долгосрочного цикла. Это подразумевает, что она представляет собой дробный шумовой процесс и в краткосрочной, и в долгосрочной перспективе. Акции и облигации, с другой стороны, являются дробным шумом в краткосрочной перспективе (отсюда самоподобные частотные распределения), но хаотичны в долгосрочной перспективе.

ВОЛАТИЛЬНОСГЬ

Было показано, что волатилыюсть антиперсистентна – это часто изменяющийся процесс розового шума. Однако она не является возвратной к среднему. Возвратность к среднему подразумевает, что волатилыюсть имеет устойчивое математическое ожидание, к которому, в конечном счете, стремится. Мы видели доказательства того, что это не так. Эти доказательства согласуются с теорией, поскольку производной процесса черного шума является розовый шум. Рыночные прибыли представляют собой черный шум, так что не удивительно, что волатильность (которая является вторым моментом курсов акций) является розовым шумом.

Процесс розового шума характеризуется функциями вероятности, которые не только имеют бесконечную дисперсию, но также и бесконечное среднее; то есть не существует математического ожидания, к которому можно возвратиться. В контексте того представления, что рыночные прибыли являются черным шумом, это имеет смысл. Если рыночные прибыли имеют бесконечную дисперсию, то среднее дисперсии курсов акций само должно быть бесконечным. Это все является частью одной большой структуры, и эта структура имеет глубокие последствия для опционных трейдеров и других индивидуумов, покупающих и продающих волатильность.

К БОЛЕЕ ПОЛНОЙ РЫНОЧНОЙ ТЕОРИИ

Большая масть обсуждений в этой книге была попыткой согласовать рациональный подход традиционного количественного управления с практическим опытом фактического взаимодействия с рынками. В течение некоторого времени мы не могли привести их в соответствие. Практикующие менеджеры по регулированию денежных операций, которые имеют количественный опыт, вынуждены прививать практический опыт к теории. Когда практика не соответствует теории, мы просто признавали, что в этой точке теория терпит неудачу. Наша точка зрения была подобна принятию физиками «сингулярностей», то есть событий, где теория терпит неудачу. Большой взрыв – одна из таких сингулярностей. В момент Большого взрыва физические законы терпят неудачу и не могут объяснить это событие. Мы были вынуждены думать о рыночных крахах, как о сингулярностях теории рынка капитала. Они представляют собой периоды, когда не действует никакое обобщение гипотезы эффективного рынка (ЕМН).

Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам модель, которая может объяснить такие особенности. Даже если события, такие как аварии, оказываются непредсказуемыми, они не неожиданны. Они не становятся «выбросами» в теории. Наоборот, они – часть системы. Во многом они являются той ценой, которую мы платим за то, чтобы быть капиталистами. В моей предыдущей книге, я отметил, что для того чтобы остаться живыми, рынки должны быть далеки от равновесия. Я пытался сказать, что капиталистическая система (либо рынок капитала, либо вся экономика) должна динамически развиваться. Случайные события должны происходить, чтобы стимулировать новшества. Если бы мы точно знали, что должно произойти, мы бы перестали экспериментировать. Мы перестали бы учиться. Мы перестали бы вводить новшества. Поэтому у нас должны быть циклы, а циклы подразумевают, что всегда будет период подъема и период спада.

Для исследователей стал обычным поиск аномалий, или карманов неэффективности, где можно получить прибыль при небольшом риске. Было справедливо указано, что большой рынок будет устранять такие аномалии, как только они становятся общеизвестными. FMH не такая. Она не находит карман неэффективности, в котором немногие могут получить прибыль. Вместо этого, она говорит о том, что, поскольку информация на различных частотах обрабатывается по-разному, тренды и циклы будут на всех инвестиционных горизонтах. Некоторые будут стохастическими, некоторые будут нелинейными детерминированными. В обоих случаях точная структура трендов изменяется во времени. Она предсказуема, но она никогда не будет совершенно предсказуема и именно это сохраняет рынки устойчивыми. Теория хаоса и фрактальная статистика предлагают нам новый способ понимания того, как функционируют рынки и экономики. Нет никаких гарантий того, что благодаря им нам будет легче зарабатывать деньги. Тем не менее, мы будем более приспособлены к разработке стратегий и оценке рисков.

Гипотеза эффективного рынка (efficient market hypothesis, EMH)

Фрактальная теория рынка Forex – это попытка автора взглянуть на основания финансовых рынков сквозь призму таких понятий, как синергетика, хаос, множество Мандельброта, показатель Херста и броуновское движение. Книга поможет читателю раскрыть эти понятия в приложении к рынку Forex и изменит восприятие им таких вещей, как котировки и цены. Теорию фракталов можно с успехом применять в сочетании как с техническим, так и с фундаментальным анализом. А информация, которую получит читатель, изучая материал, даст ему прочный фундамент для интерпретации графиков курсов валют и ценных бумаг.

Алексей Алмазов. Фрактальная теория рынка Forex. – СПб: Admiral Markets, 2009. – 296 с.

Скачать конспект (краткое содержание) в формате или

Глава 1. Синергетика

В настоящее время, когда становится ясно, что финансовые рынки являются нелинейными системами, синергетика позволила распространить нелинейные концепции на экономический анализ рынков и более внятно объяснить их природу, в т.ч. пути их дальнейшей эволюции.

Самоорганизующаяся система не может быть замкнутой. Валютный рынок является открытой системой. Миллионы источников информации каждый день воздействуют на ход котировок. Другим условием самоорганизации является первоначальное отклонение от равновесия. Такое отклонение может быть следствием направленного воздействия извне, но может возникнуть и в самой системе случайным образом, стохастически. Третье условие: все процессы в системе (процессы, поддающиеся статистическому анализу) происходят кооперативно, самосогласованно. На рынке данное условие выполняется в согласовании временных масштабов. Графики в различных масштабах согласованы между собой.

Почему же система, развивающаяся по вполне определенным законам, ведет себя хаотически? Хаос порождается собственной динамикой нелинейной системы – ее свойством экспоненциально быстро разводить сколь угодно близкие траектории. В результате форма траекторий очень сильно зависит от начальных условий.

Поскольку в реальном физическом эксперименте задать начальные условия можно лишь с конечной точностью, предсказать поведение хаотических систем на длительное время невозможно. Анри Пуанкаре в своей работе «Наука и метод» (1908) говорит: «В неустойчивых системах «совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которое мы не можем предусмотреть. (…) Предсказание становится невозможным».

Мандельброт, Пригожин и др. обнаружили, что на границе между конфликтами противоположных сил стоит не рождение хаотических, беспорядочных структур, как считалось ранее, а происходит спонтанное возникновение самоорганизации порядка более высокого уровня (см., например, ).

Теория волновой синергетики. Суть теории состоит в том, что график цены имеет определенную структуру поведения. В роли структуры выступает модель броуновского движения.

Глава 2. Линейная и нелинейная парадигмы на рынке Forex

Если система или организм хочет выжить, он должен эволюционировать и находиться далеко от равновесия. Поэтому здоровая экономика и рынок не стремятся к равновесию, они стремятся к росту и развитию.

Линейная парадигма утверждает, что рынки эффективны. Данная теория утверждает, что поскольку текущие цены отражают всю публичную информацию, ни один участник рынка не может иметь преимущество перед другим, тем самым, извлекая сверхприбыль. Однако Роберт Шиллер показал, что некоторые изменения цены происходят из-за изменений в фундаментальной информации и неопределенности будущих трендов потоков наличности. Только 27% волатильности объема прибылей на фондовых рынках США объясняется с позиций фундаментальной информации (см. ).

Считается, что трейдеры рациональны и подчиняются сделанным оценкам валютных курсов, при этом не учитываются психологические особенности участников. Линейная парадигма постулирует, что курсы валют описывают траектории случайного блуждания (броуновское движение), а их распределение нормально и имеет форму колокола. Ширина колокола (ее сигма, или стандартное отклонение) отображает, как далекие изменения цен отклоняются от среднего; события на краю рассматриваются, как чрезвычайно редкие.

Однако, финансовые данные не соответствуют таким предположениям. Величина ценовых движений может оставаться примерно постоянной в течение года, а затем внезапно изменчивость может надолго вырасти. Большие ценовые скачки стали обычными. Гауссова модель нормального распределения не отображает реальной картины, происходящей на финансовых рынках. Стоимость валют не постулируется теорией эффективного рынка.

На смену старым методам должны прийти новые, которые не предполагают независимости или нормальности. Новые методы должны включать фракталы и нелинейную динамику. Нелинейная парадигма должна допустить в теорию рынков концепцию долговременной памяти: событие может влиять на рынки долго. Невозможность развития в линейных системах происходит из-за того, что детерминированные статистические системы обладают небольшим числом степенной свободы, что заметно ограничивает их приспособительные возможности, они вынуждены уступать в процессе развития более адаптивным конкурентам.

Очень интересную теорию предложил Петерс в своей книге , согласно ей, рынки остаются стабильными, когда многие инвесторы на них участвуют и имеют различные инвестиционные горизонты (сроки вложения средств).

Гарольд Эдвин Херст (1880–1978) – английский физик, прославился исследованиями разливов Нила. Херст ввел новую статистическую технику, основанную на выражении R(t, d)/S(t, d). Этот метод был назван R/S анализ. Открытие Херста состоят в том, что диаграммы R/S, относящиеся к эмпирическим хроникам, в общем случае состоят из кривых, тесно обвивающих некоторую прямую, но угол наклона Н этой прямой изменяется от случая к случаю. Различные кривы ведут себя очень по-разному, они располагаются вблизи некоторой прямой, угол наклона которой, Н , зачастую превосходит 0,5 (т.е. не соответствует нормальному распределению; рис. 1).

Рис. 1. Оценка показателя Херста

Волнистой линей изображен временной ряд (совокупность наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени) цен. Прямая линия соответствует показателю Н (Херста). Когда Н = 0,5 график будет соответствовать нормальному распределению и являться случайным. При 0,5 < Н < 1, процесс является персистентным. Если мы наблюдаем восходящую тенденцию, то в будущем она продолжит свой рост. Когда Н возрастает от 0,5 до 1, устойчивость становится все заметнее. С практической точки зрения это выражается в том, что возникающие разнородные «циклы» различаются все яснее. В частности, большую важность становятся медленные циклы. Если 0 < Н < 0,5, то процесс является антиперсистентным. Когда восходящая тенденция сменяется нисходящей или наоборот.

Глава 3. Введение во фракталы

В 1975 году Бенуа Мандельброт впервые ввел понятие фрактала – от латинского слова fractus, сломанный камень, расколотый и нерегулярный. Оказывается, почти все природные образования имеют фрактальную структуру. Что это значит? Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части и т. п., то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково.

Фрактал – геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых — уменьшенная версия целого.

Свойства фракталов. Нерегулярность. Если фрактал описывать функцией, то свойство нерегулярности в математических терминах будет означать, что такая функция не дифференцируема, то есть не гладкая ни в какой точке. Самоподобие. Фрактал – рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом и воспроизводится в различных масштабах без видимых изменений. Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.

В финансах движения акции или валюты внешне похожи, независимо от масштаба времени и цены. Наблюдатель не может сказать по внешнему виду графика, относятся ли данные к недельным, дневным или же часовым изменениям.

Третьим свойством фракталов является то, что фрактальные объекты имеют размерность, отличную от евклидовой. Она носит имя размерность Хаусдорфа-Безиковича. Эта размерность увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией. Если это кривая, с топологической размерностью равной 1 (прямая линия), то кривую можно усложнить путем бесконечного числа изгибаний и ветвлений до такой степени, что ее фрактальная размерность приблизится к двум, т.е. заполнит почти всю плоскость. (рис. 2).

Рис. 2. (а) Сильноизогнутая линия способна заполнить собою плоскость; (б) переход от размерности 1 к размерности 1,5

В мультифракталах в роли показателя размерности выступает значение Н .

При фрактальной размерности менее 1,4, на систему влияет одна или несколько сил, двигающих систему в одном направлении. Если размерность около 1,5, то силы, действующие на систему, разнонаправлены, но более или менее компенсируют друг друга. Если же фрактальная размерность значительно более 1,6, система становится неустойчивой и готова перейти в новое состояние. Отсюда можно сделать вывод, что чем более сложную структуру мы наблюдаем, тем все более возрастает вероятность мощного движения (рис. 3).

Рис. 3. Смоделированные линии с различной размерностью

Когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное, т.е. полностью зависит от начальных условий и поддается четкому прогнозу. Вы самостоятельно можете выполнить одну из таких моделей в Excel. А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие. Именно такой системой и является межбанковский валютный рынок.

Глава 4. Теория волн Эллиота как основоположник теории фракталов

Технический анализ рынков – это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории развития цены. Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов, а не экономические показатели различных стран, к которым принадлежит та или иная валютная пара. Технический анализ основан на 3 постулатах:

Рынок учитывает все.
Движение цен подчинено тенденциям. Бычий тренд – восходящее направление цены. Медвежий тренд – нисходящее направление цены. Флэт – боковое (горизонтальное) движение рынка.
История повторяется.

В теории Эллиота для обозначения пяти волнового тренда используют цифры, а для противоположного трех волнового – буквы. Если волна направлена в сторону основного тренда и состоит из пяти волновых движений, то она называется – импульсной. Если направление волны противоположно основному тренду, и она состоит из трех волновых движений, то она называется корректировочной (рис. 4).

Рис. 4. Волновой цикл Эллиота

Исходя из определения фрактала, Элиот первым заметил, что волны более мелкого порядка подобны волнам более высокого порядка и то, что система является самоподобной. Но когда большинство из нас сталкиваются с реальностью данных, а не с той простой схемой, что подробно описывается в волновой теории, многие приходят в разочарование в связи с тем, что не обнаруживают данного цикла в его изначальном виде.

Эллиот предложил самоподобную модель поведения цен, которая по своей сущности является фракталом, но она не отображает всех свойств присущих данному понятию и того, что в действительности происходит на финансовых рынках.

На валютном рынке время мультифракталыю, а в роли цены мы наблюдаем броуновское движение, обобщенное либо дробное!

Эллиот лишь заложил фундамент и предложил упрощенную форму поведения цены.

Глава 5. Модель Бенуа Мандельброта

Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации, как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей. Данная модель, которая получила название «Множество Мандельброта» положила начало к развитию фрактальной геометрии (рис. 5).

Рис. 5. Множество Мандельброта

Модель Мандельброта обладает характерными свойствами. Самоподобие, пожалуй, одно из самых важных свойств данной модели.

Следующим свойством, которым обладает наша модель, это ее размерность (детализация). Применительно к рынку можно увидеть, что недельный масштаб цен обладает наиболее детализованными данными, что делает его структуру более четкой, относительно минутных графиков (рис. 6).

Рис. 6. Размерность (детализация) модели: (а) недельный график, (б) минутный график

Характерным свойством множества Мандельброта является его нерегулярность. Модель Мандельброта случайным образом выбирает направление дальнейшего пути развития, которое выглядит как разделение траекторий. Обычно эту точку называют, точкой бифуркации . Самое удивительное свойство множества Мандельброта – бесконечная дисперсия.

При анализе графиков Forex может применяться золотое сечение и .

Глава 6. Генератор – Святой Грааль на рынке Forex

Под моделью мы будем подразумевать закономерно выстроенную структуру цен, образовавшуюся в законченном цикле. Графики Forex можно сгенерировать, используя диагональную самоаффинность. Преобразования называются аффинными, когда она используют операции переноса и редукции.

Все модели я строю на основе функции Вейерштрасса-Мандельброта:

Параметр b определяет, какая часть кривой видна, когда аргумент t изменяется в заданном интервале. Параметр D принимает значения 1 < D < 2 и является показателем размерности фрактальной кривой. Например, при D = 1,5 и b =1,5 мы имеем модель, названную мной, как «модель 1.5» (рис. 7).

Рис. 7. Модель 1.5

Понятие размерности вполне можно соотнести с волатильностью биржевых цен. То есть с помощью параметра D , мы, подбирая нашу модель к похожей на рынке, можем отрегулировать ее таким образом, чтобы волатильность цен и размерность модели стали практически идентичными.

Модели можно получать с помощью программы, которая может их генерировать, путем задаваемых параметров D и b . Наиболее близки к рыночным реалиям модели 1.43, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9.

Глава 7. Начальные условия и основные этапы развития моделей

Для примера будем использовать модель 1.9 (рис. 8). Вертикальными линиями разграничены волны. Модель 1.9 включает в себя наиболее полный и стандартный перечень элементов. Все остальные модели являются производными от данной структуры.

Рис. 8. Структура модели 1.9

Для данной Origin характерны следующие особенности:

Начинается данная структура после нисходящего движения.
Как правило, последняя волна в волне origin достаточно выражена (на рис. показана стрелкой).
Откат от волны origin не должен пересекать ее основание.
Ключевым уровнем отмены данной структуры будет пробой 23.6 уровня Фибоначчи.

Основные черты волны trident:

В отличие от origin она не начинается от очередного минимума нисходящего тренда.
Точка бета никогда не должна пересекать основание волны origin.
Если угол наклона между точками альфа и бета крутой, то тренд будет достаточно мощным и импульсивным. Если пологий, то тренд будет идти не под углом, а в горизонтальном направлении.

Особенности волны impulse:

Является самой заметной из всех волн, что выражается в продолжительности и скорости ее хода.
Практически всегда достигает уровня 161.8 от волны origin.
Все индикаторы показывают максимальное значение на этапе окончания волны impulse.
Данная волна может состоять из двух циклов.

Характерные особенности волны revival:

В отличие от волны trident, в данной структуре точки альфа и бета не представляют особой важности, так как уровень бета может оказаться значительно ниже альфа, что не означает отмены восходящего движения.
В данной структуре очень важно следить за тем, чтобы максимумы revival не стали максимальными уровнями от всей модели в целом.

Для того чтобы научиться грамотно определять цикл, мы должны уметь варьировать временными масштабами. Умение работать с различными масштабами это начало пути к профессиональному трейдингу! Если мы не видим развитие модели на определенном масштабе цен, то перед нами часть, большего цикла. Вот почему не после каждого нисходящего (восходящего) движения мы будем наблюдать целую модель. Циклы, развивающиеся в характерном для них масштабе цен, обладают наиболее высокой размерностью, чем часть большего цикла, расположенного в том же масштабе.

Глава 8. Определение циклов на валютном рынке

Есть ли цикл на рынке? На этот вопрос по сей день, нет конкретного ответа. Вот как Мандельброт описывает наличие циклов на финансовых рынках: «…все периодичности суть «артефакты», не характеристика процесса, но, скорее, совокупный результат зависящий от собственно процесса, длины выборки и суждения экономиста или гидролога. Первый из упомянутых факторов является внешним по отношению к наблюдателю, второй (в зависимости от конкретного случая) может предполагаться заранее или выбираться произвольно, а третий субъективен во всех случаях, то есть представляет собой продукт человеческого восприятия и предмет разногласий. (Впрочем, эти разногласия зачастую касаются только деталей, что может представлять интерес с точки зрения теории восприятия.)».

Мандельброт предложил в качестве определения размерности самоаффинных процессов использовать показатель Херста:

(2) H = logP/logT

Фрактальная размерность в этом случае определяется как:

(3) D =D m – H

и характеризует то, как предмет заполняет пространство. Чем выше D, тем больше шума на графиках. минутный и часовой графики. Тени, которые мы наблюдаем на различных временных масштабах, определяют степень зашумленности временного ряда! Чем длиннее тени свечей, тем более зашумленной является пара, что выражается в отклонении цены в момент поступления новой информации от истинного значения (структуры). Отсюда можно сделать вывод, что масштабы на валютном рынке представляют собой некий фильтр, который отсеивает всю ненужную информацию и определяет более важную (рис. 9).

Рис. 9. Масштабы в роли фильтров

Отличительной чертой циклов, которые присутствуют на валютном рынке является их непериодичность. Это значит, что цикл не имеет определенной стандартной длины. Петерс в своей книге «Хаос и порядок на рынке капитала» дает следующее определение: «Средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях». Петерс делает попытку определить длину цикла с помощью R/S анализа. Он нашел, что средняя длина цикла по индексу S&P500 равна 4 года. Однако автор делает поправку на то, что это некий статистический цикл и, что для практической торговли он не представляет ровными счетом никакого интереса.

К рынку применима фрактальная теория и те неправильные кривые, которые мы ежедневно наблюдаем на экранах своих мониторах, есть ни что иное, как фрактальный временной ряд. Отсюда вытекает понятие мультифрактального биржевого времени. Эйнштейн нашел, что средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица пропорционален времени. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды оказывается пропорциональным некоторой дробной степени времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды α :

(4) α = 1/Н

(5) dP ~ (dt) Н

Если Н = ½, модель характерна для эффективного рынка. Где постулируется, что процесс распределения цен соответствует гауссовскому. Здесь dP – изменение цены, соответствующее интервалу времени dt . Наиболее частое значение, показателя Херста для валютных рынков колеблется около 0,58 – 0,6, что соответствует α = 1,7 («модель 1.7»). Поскольку Н постоянно меняется, оно будет мультифрактальным . Приставка мульти означает, что мы имеем не одно, а несколько значений Н на различных временных интервалах.

Глава 9. Как совмещать фрактальную теорию с другими видами анализа

Выставляйте уровни поддержки и сопротивления ориентируясь на максимумы и минимумы цен. Расстояние между уровнем и тенями должно быть не менее 1–2 пунктов. Как узнать действительно ли это максимум цены или просто очередной всплеск? Это делается путем определения максимальных и минимальных уровней, которые цена делала в прошлом. Фрактальная теория рынка предполагает то, что прошлые значения цены коррелируют с ее будущими значениями.

Торгуя, на валютном рынке, трейдер даже не задумывается о взаимосвязи между отдельными валютами и ограничиваясь всего одной парой. Многие считают, что валютный рынок представляет из себя систему, поделенную на множество отдельных элементов (валютных пар) по сути, никак не связанных между собой! Вы упускаете огромные возможности, не используя структуру поведения различных валютных пар. Я не призываю вас к тому, чтобы открывать сделки по 2, 3, а уж тем более по 10 парам одновременно. Можно все время открывать сделки только по одной валютной паре, но сделать это так, чтобы сигналы на вход в рынок не противоречили другой валютной паре, связанной с ней.

Например, валютные пары Евро/Доллар и Фунт/Доллар являются однонаправленными, и мы наблюдаем схожую структуры движения цены. При этом у них различная волатильность, а значит и разные ключевые уровни. У одной из них уровни достигаются значительно быстрее, чем у схожей с ней валютой. Нам же остается только выставить ключевые уровни и ждать их пробоя. Как только они будут пробиты мы с полной уверенностью можем предполагать о том, что по той валюте, где еще цена даже не подошла к ним, возможен пробой ключевого уровня.

Сущностью рынка является ход цены, а вернее ее структура. Трейдер, который подвержен влиянию различных источников информации, а также пытается применить индикаторы, сильно рискует уйти от верного прогноза. Я вовсе не противник индикаторов и фундаментального анализа, я лишь призываю к тому, что, применяя данные инструменты, нам не нужно забывать о самом предмете. Применение фрактальной теории помогает определить направление цены, однако учитывая перепады в волатильности каждой пары в отдельности, индикаторы помогут наиболее точно сориентировать нас в текущей ситуации. Да они более удобны, в том плане, что с их помощью можно найти наиболее ключевые точки для входа или выхода с рынка. Но индикаторы очень плохо показывают общее направление цены, что является их существенным минусом.

Глава 11. Психология торговля

Работая на реальных счетах, человек уже не думает, он работает. Трейдеры незаметно для себя перестают разумно размышлять о своих проигрышах и выигрышах, для них начинает существовать только одна цель – заработать побольше и побыстрее. Данный синдром проявляет себя в следующем:

Осуществление большого количества сделок за короткий период.
Отсутствие понятия риск.
После успешно выполненной сделки, данный игрок открывает еще одну.
Происходит отвержение и не понимание теории. Работа на рынке происходит без предварительного разогрева.
Невозможность принять свое поражение.

Всем известно такой вид ордеров, как стоп-лосс и тейк-профит. Вы должны понять, что, если вы, до того, как хотите осуществить сделку не знаете, где ограничить свои потери и сколько прибыли вам нужно забрать, вы уже проиграли.

После того, как вы осуществляете успешную сделку вы находитесь в состоянии победителя, которому все по плечу, вы празднуете, а во время праздника человеку не свойственно трезво оценить ситуацию. Поэтому не спешите сразу открывать очередную сделку, отдохните, соберитесь с силами, и ваша торговля станет поистине профессиональной.

Литература

Давид Рюэль. . – Ижевск: РХД, 2001. – 192 с.

Бенуа Мандельброт. : фрактальная революция в финансах. – М.: Вильямс, 2006. – 408 с.

Бенуа Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. – Москва–Ижевск: ИКИ, 2002. – 656 с.

Бенуа Мандельброт. . – Ижевск: РХД, 2004. – 256 с.

Эдгар Петерс. . – М.: Интернет-трейдинг, 2004. – 304 с.