क्यूब्स का अंतर और जोड़। संक्षिप्त गुणन सूत्र

पिछले पाठों में, हमने बहुपद को गुणनखंडित करने के दो तरीकों पर विचार किया: कोष्ठकों से उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालना और समूहन विधि।

इस पाठ में, हम एक बहुपद का गुणनखंडन करने का दूसरा तरीका देखेंगे संक्षिप्त गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करना.

हम अनुशंसा करते हैं कि आप प्रत्येक सूत्र को कम से कम 12 बार लिखें। बेहतर याद के लिए, एक छोटी सी चीट शीट पर अपने लिए सभी संक्षिप्त गुणन सूत्र लिख लें।

याद रखें कि घनों के अंतर का सूत्र कैसा दिखता है।

ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)

क्यूब्स के अंतर का सूत्र याद रखना बहुत आसान नहीं है, इसलिए हम इसे याद रखने के लिए एक विशेष तरीके का उपयोग करने की सलाह देते हैं।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि कोई भी संक्षिप्त गुणन सूत्र भी काम करता है दूसरी तरफ.

(ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2) = ए 3 - बी 3

एक उदाहरण पर विचार करें। घनों के अंतर को गुणनखंड करना आवश्यक है।

ध्यान दें कि "27a 3" "(3a) 3" है, जिसका अर्थ है कि घनों के अंतर के लिए सूत्र के लिए, "a" के बजाय, हम "3a" का उपयोग करते हैं।

हम घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं। "ए 3" के स्थान पर, हमारे पास "27 ए 3" है, और "बी 3" के स्थान पर, जैसा कि सूत्र में है, "बी 3" है।

घन अंतर को उल्टा लगाने पर

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके बहुपदों के गुणनफल को घनों के अंतर में बदलना आवश्यक है।

कृपया ध्यान दें कि बहुपदों का गुणनफल "(x - 1) (x 2 + x + 1)" घनों के अंतर के लिए सूत्र के दाईं ओर जैसा दिखता है "", केवल "a" के बजाय "x" है, और में "बी" का स्थान "1" है।

"(x - 1)(x 2 + x + 1)" के लिए, हम विपरीत दिशा में घनों के अंतर के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं।

आइए एक और कठिन उदाहरण पर विचार करें। बहुपदों के गुणनफल को सरल बनाना आवश्यक है।

यदि हम "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" की तुलना घनों के अंतर के सूत्र के दाईं ओर से करते हैं
« ए 3 - बी 3 = (ए - बी) (ए 2 + एबी + बी 2)”, तो आप समझ सकते हैं कि पहले कोष्ठक से “a” के स्थान पर “y 2” है, और “b” के स्थान पर “1” है।

कम गुणन के सूत्र या नियम अंकगणित में उपयोग किए जाते हैं, और अधिक विशेष रूप से बीजगणित में, बड़े बीजीय व्यंजकों की गणना की तेज प्रक्रिया के लिए। कई बहुपदों के गुणन के लिए सूत्र स्वयं बीजगणित के मौजूदा नियमों से प्राप्त होते हैं।

इन सूत्रों का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं का काफी त्वरित समाधान प्रदान करता है, और अभिव्यक्तियों को सरल बनाने में भी मदद करता है। बीजगणितीय परिवर्तनों के नियम आपको अभिव्यक्तियों के साथ कुछ जोड़तोड़ करने की अनुमति देते हैं, जिसके बाद आप समानता के बाईं ओर अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं, जो कि दाईं ओर है, या समानता के दाईं ओर को रूपांतरित करें (अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए) बराबर चिह्न के बाद बाईं ओर)।

स्मृति द्वारा संक्षिप्त गुणन के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को जानना सुविधाजनक है, क्योंकि उनका उपयोग अक्सर समस्याओं और समीकरणों को हल करने में किया जाता है। इस सूची में शामिल मुख्य सूत्र और उनके नाम नीचे सूचीबद्ध हैं।

योग वर्ग

योग के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहले पद के वर्ग से मिलकर योग का पता लगाना होगा, पहले पद और दूसरे के गुणनफल का दोगुना और दूसरे का वर्ग। व्यंजक के रूप में यह नियम इस प्रकार लिखा जाता है: (a + c)² = a² + 2ac + c²।

अंतर का वर्ग

अंतर के वर्ग की गणना करने के लिए, आपको पहली संख्या के वर्ग से मिलकर योग की गणना करने की आवश्यकता है, पहली संख्या के उत्पाद को दूसरे (विपरीत चिह्न के साथ लिया गया) और दूसरी संख्या का वर्ग। एक व्यंजक के रूप में, यह नियम इस तरह दिखता है: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c²।

वर्गों का अंतर

दो संख्याओं के वर्ग के अंतर का सूत्र इन संख्याओं के योग और उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है। एक अभिव्यक्ति के रूप में, यह नियम इस तरह दिखता है: a² - c² \u003d (a + c) (a - c)।

योग घन

दो पदों के योग के घन की गणना करने के लिए, पहले पद के घन से मिलकर योग की गणना करना आवश्यक है, पहले पद के वर्ग के त्रिगुण गुणनफल और दूसरे, पहले पद के त्रिगुण गुणनफल और दूसरा वर्ग, और दूसरे पद का घन। एक व्यंजक के रूप में, यह नियम इस तरह दिखता है: (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³।

घनों का योग

सूत्र के अनुसार, यह इन पदों के योग और उनके . के गुणनफल के बराबर होता है अधूरा वर्गमतभेद। एक व्यंजक के रूप में, यह नियम इस तरह दिखता है: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²)।

उदाहरण।आकृति के आयतन की गणना करना आवश्यक है, जो दो घनों को जोड़कर बनता है। केवल उनकी भुजाओं के परिमाण ज्ञात हैं।

यदि पक्षों का मान छोटा है, तो गणना करना आसान है।

यदि पक्षों की लंबाई बोझिल संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो इस मामले में "क्यूब्स का योग" सूत्र लागू करना आसान होता है, जो गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

अंतर घन

घन अंतर के लिए अभिव्यक्ति इस तरह लगती है: पहले पद की तीसरी शक्ति के योग के रूप में, पहले पद के वर्ग के नकारात्मक गुणनफल को दूसरे से तिगुना, पहले पद के गुणनफल को दूसरे के वर्ग से तिगुना करें , और दूसरे पद का ऋणात्मक घन। गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, अंतर घन इस तरह दिखता है: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³।

घनों का अंतर

घनों के अंतर का सूत्र केवल एक चिह्न द्वारा घनों के योग से भिन्न होता है। इस प्रकार, घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा इन संख्याओं के अंतर के गुणनफल के बराबर एक सूत्र है। रूप में, क्यूब्स का अंतर इस तरह दिखता है: ए 3 - सी 3 \u003d (ए - सी) (ए 2 + एसी + सी 2)।

उदाहरण।नीले घन के आयतन से त्रि-आयामी आकृति को घटाने के बाद बनी रहने वाली आकृति के आयतन की गणना करना आवश्यक है पीला रंग, जो एक घन भी है। केवल एक छोटे और बड़े घन की भुजा का आकार ही ज्ञात होता है।

यदि पक्षों का मान छोटा है, तो गणना काफी सरल है। और यदि पक्षों की लंबाई महत्वपूर्ण संख्याओं में व्यक्त की जाती है, तो यह "क्यूब्स का अंतर" (या "डिफरेंस क्यूब") नामक एक सूत्र का उपयोग करने के लायक है, जो गणनाओं को बहुत सरल करेगा।

संक्षिप्त गुणन सूत्र (FSU) का उपयोग संख्याओं और व्यंजकों को घातांक और गुणा करने के लिए किया जाता है। अक्सर ये सूत्र आपको गणनाओं को अधिक सघन और शीघ्रता से करने की अनुमति देते हैं।

इस लेख में, हम संक्षिप्त गुणन के मुख्य सूत्रों को सूचीबद्ध करेंगे, उन्हें एक तालिका में समूहित करेंगे, इन सूत्रों का उपयोग करने के उदाहरणों पर विचार करेंगे, और संक्षिप्त गुणन सूत्रों को सिद्ध करने के सिद्धांतों पर भी ध्यान देंगे।

पहली बार, 7 वीं कक्षा के लिए "बीजगणित" पाठ्यक्रम के भीतर एफएसयू के विषय पर विचार किया गया है। नीचे 7 बुनियादी सूत्र दिए गए हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र

1. योग वर्ग सूत्र: ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2
2. अंतर वर्ग सूत्र: ए - बी 2 \u003d ए 2 - 2 ए बी + बी 2
3. योग घन सूत्र: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. अंतर घन सूत्र: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. वर्गों का अंतर सूत्र: ए 2 - बी 2 \u003d ए - बी ए + बी
6. घनों के योग का सूत्र: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. घन अंतर सूत्र: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

इन भावों में अक्षर a, b, c कोई भी संख्या, चर या व्यंजक हो सकते हैं। उपयोग में आसानी के लिए, सात बुनियादी सूत्रों को दिल से सीखना बेहतर है। हम उन्हें एक तालिका में सारांशित करते हैं और उन्हें एक बॉक्स के साथ चक्कर लगाते हुए नीचे देते हैं।

पहले चार सूत्र आपको क्रमशः दो भावों के योग या अंतर के वर्ग या घन की गणना करने की अनुमति देते हैं।

पाँचवाँ सूत्र व्यंजकों के वर्गों के योग और अंतर को गुणा करके उनके अंतर की गणना करता है।

छठा और सातवाँ सूत्र, क्रमशः, योग और व्यंजकों के अंतर का गुणन अंतर के अधूरे वर्ग और योग के अधूरे वर्ग से हैं।

संक्षिप्त गुणन सूत्र को कभी-कभी संक्षिप्त गुणन पहचान भी कहा जाता है। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि हर समानता एक पहचान है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, संक्षिप्त गुणन सूत्र अक्सर पुनर्व्यवस्थित बाएँ और दाएँ भागों के साथ उपयोग किए जाते हैं। बहुपद का गुणन करते समय यह विशेष रूप से सुविधाजनक होता है।

अतिरिक्त संक्षिप्त गुणन सूत्र

हम खुद को बीजगणित में 7वीं कक्षा के पाठ्यक्रम तक सीमित नहीं रखेंगे और अपनी FSU तालिका में कुछ और सूत्र जोड़ेंगे।

सबसे पहले, न्यूटन के द्विपद सूत्र पर विचार करें।

ए + बी एन = सी एन 0 ए एन + सी एन 1 ए एन -1 बी + सी एन 2 ए एन - 2 बी 2 +। . + सी एन एन - 1 ए बी एन - 1 + सी एन एन बी एन

यहाँ C n k द्विपद गुणांक हैं जो पास्कल त्रिभुज में पंक्ति संख्या n में हैं। द्विपद गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

सी एनके = एन! क! · (एन-के)! = एन (एन -1) (एन - 2)। . (एन - (के - 1)) के!

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंतर और योग के वर्ग और घन के लिए FSU क्रमशः n=2 और n=3 के लिए न्यूटन के द्विपद सूत्र का एक विशेष मामला है।

लेकिन क्या होगा यदि किसी शक्ति को बढ़ाने के लिए योग में दो से अधिक शब्द हों? तीन, चार या अधिक पदों के योग के वर्ग का सूत्र उपयोगी होगा।

ए 1 + ए 2 +। . + ए एन 2 = ए 1 2 + ए 2 2 +। . + ए एन 2 + 2 ए 1 ​​ए 2 + 2 ए 1 ​​ए 3 +। . + 2 ए 1 ​​ए एन + 2 ए 2 ए 3 + 2 ए 2 ए 4 +। . + 2 ए 2 ए एन + 2 ए एन - 1 ए एन

एक अन्य सूत्र जो काम आ सकता है वह है दो पदों की nवीं शक्तियों के अंतर का सूत्र।

ए एन - बी एन = ए - बी ए एन -1 + ए एन - 2 बी + ए एन - 3 बी 2 +। . + ए 2 बी एन - 2 + बी एन - 1

यह सूत्र आमतौर पर दो सूत्रों में विभाजित होता है - क्रमशः सम और विषम डिग्री के लिए।

सम घातांक 2m के लिए:

ए 2 एम - बी 2 एम = ए 2 - बी 2 ए 2 एम - 2 + ए 2 एम - 4 बी 2 + ए 2 एम - 6 बी 4 +। . + बी 2 मीटर - 2

विषम घातांक 2m+1 के लिए:

ए 2 एम + 1 - बी 2 एम + 1 = ए 2 - बी 2 ए 2 एम + ए 2 एम - 1 बी + ए 2 एम - 2 बी 2 +। . + बी 2 एम

वर्गों के अंतर और घनों के अंतर के सूत्र, आपने अनुमान लगाया, क्रमशः n = 2 और n = 3 के लिए इस सूत्र के विशेष मामले हैं। घनों के अंतर के लिए, b को भी - b से बदल दिया जाता है।

संक्षिप्त गुणन सूत्र कैसे पढ़ें?

हम प्रत्येक सूत्र के लिए संगत सूत्र देंगे, लेकिन पहले हम सूत्रों को पढ़ने के सिद्धांत से निपटेंगे। ऐसा करने का सबसे आसान तरीका एक उदाहरण के साथ है। आइए दो संख्याओं के योग के वर्ग के लिए सबसे पहला सूत्र लें।

ए + बी 2 = ए 2 + 2 ए बी + बी 2।

वे कहते हैं: दो भावों के योग का वर्ग a और b योग के बराबर हैपहले व्यंजक का वर्ग, व्यंजकों का दोहरा गुणनफल और दूसरे व्यंजक का वर्ग।

अन्य सभी सूत्र इसी तरह पढ़े जाते हैं। चुकता अंतर के लिए a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 हम लिखते हैं:

दो व्यंजकों a और b के अंतर का वर्ग इन भावों के वर्गों के योग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे भाव के गुणनफल का दोगुना है।

आइए सूत्र a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 पढ़ें। दो भावों के योग का घन a और b इन भावों के घनों के योग के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरे का, और दूसरे व्यंजक के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना है और पहली अभिव्यक्ति।

हम क्यूब ए - बी 3 \u003d ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3 के अंतर के सूत्र को पढ़ने के लिए आगे बढ़ते हैं। दो भावों के अंतर का घन a और b पहली अभिव्यक्ति के घन के बराबर है, पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का तीन गुना और दूसरा, साथ ही दूसरी अभिव्यक्ति और पहली अभिव्यक्ति के वर्ग का तीन गुना, घटा घन दूसरी अभिव्यक्ति का।

पाँचवाँ सूत्र a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (वर्गों का अंतर) इस प्रकार पढ़ता है: दो भावों के वर्गों का अंतर अंतर के गुणनफल और दो भावों के योग के बराबर होता है।

सुविधा के लिए a 2 + a b + b 2 और a 2 - a b + b 2 जैसे व्यंजक क्रमशः योग का अपूर्ण वर्ग और अंतर का अपूर्ण वर्ग कहलाते हैं।

इसे ध्यान में रखते हुए, घनों के योग और अंतर के सूत्र इस प्रकार पढ़े जाते हैं:

दो व्यंजकों के घनों का योग इन व्यंजकों के योग और उनके अंतर के अपूर्ण वर्ग के गुणनफल के बराबर होता है।

दो व्यंजकों के घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा इन व्यंजकों के अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

एफएसयू सबूत

एफएसयू साबित करना काफी सरल है। गुणन के गुणों के आधार पर, हम कोष्ठकों में सूत्रों के भागों का गुणन करेंगे।

उदाहरण के लिए, अंतर के वर्ग के सूत्र पर विचार करें।

ए - बी 2 \u003d ए 2 - 2 ए बी + बी 2.

एक व्यंजक को दूसरी घात तक बढ़ाने के लिए, व्यंजक को स्वयं से गुणा करना होगा।

ए - बी 2 \u003d ए - बी ए - बी।

आइए कोष्ठक का विस्तार करें:

ए - बी ए - बी \u003d ए 2 - ए बी - बी ए + बी 2 \u003d ए 2 - 2 ए बी + बी 2.

सूत्र सिद्ध हुआ है। अन्य एफएसओ भी इसी तरह साबित होते हैं।

एफएसओ के आवेदन के उदाहरण

लघु गुणन फ़ार्मुलों का उपयोग करने का उद्देश्य अभिव्यक्तियों को त्वरित और संक्षिप्त रूप से गुणा और घातांक करना है। हालाँकि, यह FSO का संपूर्ण दायरा नहीं है। इनका व्यापक रूप से व्यंजकों को कम करने, भिन्नों को कम करने, बहुपदों को गुणन करने में उपयोग किया जाता है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1. एफएसओ

आइए व्यंजक 9 y - (1 + 3 y) 2 को सरल करें।

वर्ग सूत्र का योग लागू करें और प्राप्त करें:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

उदाहरण 2. एफएसओ

भिन्न 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 घटाएं।

हम देखते हैं कि अंश में व्यंजक घनों का अंतर है, और हर में - वर्गों का अंतर।

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z।

हम कम करते हैं और प्राप्त करते हैं:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

एफएसयू अभिव्यक्तियों के मूल्यों की गणना करने में भी मदद करते हैं। मुख्य बात यह नोटिस करने में सक्षम होना है कि सूत्र को कहां लागू किया जाए। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

आइए संख्या 79 का वर्ग करें। बोझिल गणनाओं के बजाय, हम लिखते हैं:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

ऐसा लगता है कि संक्षिप्त गुणन सूत्रों और गुणन तालिका के उपयोग के साथ एक जटिल गणना जल्दी से की गई थी।

एक अन्य महत्वपूर्ण बिंदु द्विपद के वर्ग का चयन है। व्यंजक 4 x 2 + 4 x - 3 को 2 x 2 + 2 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 में बदला जा सकता है। इस तरह के परिवर्तनों का व्यापक रूप से एकीकरण में उपयोग किया जाता है।

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वर्गों का अंतर

हम वर्ग $a^2-b^2$ के अंतर के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित नियम याद रखें:

यदि व्यंजक में कोई एकपदी जोड़ दी जाए और वही एकपदी घटा दी जाए, तो हमें सही पहचान मिलती है।

आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और उसमें से एकपदी $ab$ घटाएं:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात् दो एकपदी के वर्गों का अंतर उनके अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 1

$(4x)^2-y^2$ . के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\left(2x-y\right)(2x+y)\]

घनों का योग

हम घन $a^3+b^3$ के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:

आइए कोष्ठक में से $\बाएं(a+b\दाएं)$ निकालें:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात्, दो एकपदी के घनों का योग उनके योग के गुणनफल के बराबर उनके अंतर के अधूरे वर्ग के बराबर होता है।

उदाहरण 2

उत्पाद के रूप में व्यक्त करें $(8x)^3+y^3$

इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

\[((2x))^3+y^3=\left(2x+y\right)(4x^2-2xy+y^2)\]

घनों का अंतर

हम घनों $a^3-b^3$ के अंतर के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं।

ऐसा करने के लिए, हम ऊपर के समान नियम का उपयोग करेंगे।

आइए अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ें और उसमें से एकपदी $a^2b\ और\ (ab)^2$ घटाएं:

आइए सामान्य कारकों को कोष्ठक से बाहर निकालें:

आइए कोष्ठक से $\बाएं(ए-बी\दाएं)$ निकालें:

कुल मिलाकर, हमें मिलता है:

अर्थात्, दो एकपदी के घनों का अंतर उनके योग के अपूर्ण वर्ग द्वारा उनके अंतर के गुणनफल के बराबर होता है।

उदाहरण 3

$(8x)^3-y^3$ . के उत्पाद के रूप में व्यक्त करें

इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

\[((2x))^3-y^3=\left(2x-y\right)(4x^2+2xy+y^2)\]

वर्गों के अंतर और घनों के योग और अंतर के लिए सूत्रों का उपयोग करने के लिए कार्यों का एक उदाहरण

उदाहरण 4

गुणा करें।

ए) $((ए+5))^2-9$

ग) $-x^3+\frac(1)(27)$

फेसला:

ए) $((ए+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

वर्ग सूत्र के अंतर को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

आइए इस अभिव्यक्ति को फॉर्म में लिखें:

आइए घनों के घनों का सूत्र लागू करें:

ग) $-x^3+\frac(1)(27)$

आइए इस अभिव्यक्ति को फॉर्म में लिखें:

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

आइए घनों के घनों का सूत्र लागू करें:

\[(\बाएं(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]