Zachovanie vášho súkromia je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si naše postupy ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nižšie sú uvedené niektoré príklady typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás s jedinečnými ponukami, propagačnými akciami a inými udalosťami a pripravovanými udalosťami.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a komunikácie.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobnej propagačnej akcie, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na správu takýchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby – v súlade so zákonom, súdnym konaním, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie – poskytnúť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo na iné účely verejného významu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú nástupnícku tretiu stranu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Rešpektovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o štandardoch ochrany osobných údajov a bezpečnosti a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia mocninno-exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si upevníme preberaný materiál, pozrieme sa na zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými technikami a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Tí čitatelia, ktorí majú nízku úroveň prípravy, by si mali prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešení, čo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej si musíte stránku dôkladne preštudovať Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia a po jej zvládnutí s istotou rozlišujete pomerne zložité funkcie. Je nežiaduce zastávať pozíciu „Kde inde? To je dosť!“, pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté z reálnych testov a často sa s nimi stretávame v praxi.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie Pozreli sme sa na množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných odvetví matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie vždy je vhodné (a nie vždy potrebné) opisovať príklady veľmi podrobne. Preto si hľadanie derivátov precvičíme ústne. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších zložitých funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexných funkcií :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent vie nájsť takéto deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o tretej hodine ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: „Aká je derivácia dotyčnice dvoch X? Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na samostatné riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednej akcii, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si si to ešte nepamätal). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to potrebné Správny POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam vám užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus:

5) V piatom kroku je rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že neexistujú žiadne chyby...

(1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmite deriváciu kosínusu.

(5) Vezmite deriváciu logaritmu.

(6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia.

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je ten najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste si ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatniť pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to možné – to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad pre nezávislé riešenie vo vzorke je riešené pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť? Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko chyby nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „strašný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu z zlomkovej mocniny a potom aj zo zlomku.

Preto predtým ako vziať deriváciu „sofistikovaného“ logaritmu, najprv sa zjednoduší pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte poznámkový blok, skopírujte si ich na kus papiera, pretože zvyšné príklady lekcie sa budú točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť napísané asi takto:

Transformujme funkciu:

Nájdenie derivátu:

Predkonverzia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa na diferenciáciu navrhuje podobný logaritmus, vždy sa odporúča „rozložiť ho“.

A teraz pár jednoduchých príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede sú na konci lekcie.

Logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmov taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka: je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Nedávno sme sa pozreli na podobné príklady. Čo robiť? Postupne môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že skončíte s obrovským trojposchodovým zlomkom, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Poznámka : pretože funkcia môže nadobúdať záporné hodnoty, potom vo všeobecnosti musíte použiť moduly: , ktoré v dôsledku diferenciácie zaniknú. Prijateľný je však aj aktuálny dizajn, kde sa s ním štandardne počíta komplexné významy. Ale ak je to všetko prísne, potom v oboch prípadoch by sa mala urobiť výhrada.

Teraz musíte čo najviac „rozložiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame pod prvočíslom:

Derivát pravej strany je celkom jednoduchý, nebudem ho komentovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste ho s istotou zvládnuť.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „Y“?

Faktom je, že táto „hra s jedným písmenom“ - JE SAMA FUNKCIOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a „y“ je vnútorná funkcia. A používame pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Na ľavej strane akoby kúzlom máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, prenesieme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomeňme, o akej funkcii „hráča“ sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vzorový návrh príkladu tohto typu je na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Mocninno-exponenciálna funkcia je funkcia, pre ktorú stupeň aj základ závisia od „x“. Klasický príklad, ktorý vám bude uvedený v akejkoľvek učebnici alebo prednáške:

Ako nájsť deriváciu mocninno-exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve diskutovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Spravidla sa na pravej strane stupeň odoberá spod logaritmu:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme derivát, aby sme to urobili, uzatvoríme obe časti pod ťahy:

Ďalšie akcie sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorý prevod nie je úplne jasný, pozorne si prečítajte vysvetlenia k príkladu č. 11.

V praktických úlohách bude mocninno-exponenciálna funkcia vždy zložitejšia ako diskutovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov – „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri diferencovaní, ako si pamätáme, je lepšie okamžite presunúť konštantu z derivačného znamienka, aby neprekážala; a samozrejme uplatňujeme známe pravidlo :

Máte pocit, že pred skúškou je ešte veľa času? to je mesiac? Dva? rok? Prax ukazuje, že študent najlepšie zvládne skúšku, ak sa na ňu začne pripravovať vopred. V Jednotnej štátnej skúške je veľa ťažkých úloh, ktoré stoja školákom a budúcim uchádzačom v ceste za najvyšším skóre. Musíte sa naučiť prekonávať tieto prekážky a okrem toho to nie je ťažké. Musíte pochopiť princíp práce s rôznymi úlohami z lístkov. Potom s novými nebudú žiadne problémy.

Logaritmy sa na prvý pohľad zdajú neuveriteľne zložité, no s podrobnou analýzou sa situácia stáva oveľa jednoduchšou. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s najvyšším skóre, mali by ste porozumieť predmetnej koncepcii, čo navrhujeme urobiť v tomto článku.

Najprv oddeľme tieto definície. Čo je to logaritmus (log)? Toto je indikátor výkonu, na ktorý musí byť základňa zdvihnutá, aby sa získal zadaný počet. Ak to nie je jasné, pozrime sa na základný príklad.

V tomto prípade musí byť základňa v spodnej časti zdvihnutá na druhú mocninu, aby ste získali číslo 4.

Teraz sa pozrime na druhý koncept. Derivácia funkcie v akejkoľvek forme je pojem, ktorý charakterizuje zmenu funkcie v danom bode. Ide však o školský vzdelávací program a ak máte s týmito pojmami problémy jednotlivo, oplatí sa tému zopakovať.

Derivácia logaritmu

V zadaniach jednotnej štátnej skúšky na túto tému môžete uviesť niekoľko úloh ako príklad. Na začiatok najjednoduchšia logaritmická derivácia. Je potrebné nájsť deriváciu nasledujúcej funkcie.

Musíme nájsť ďalšiu deriváciu

Existuje špeciálny vzorec.

V tomto prípade x=u, log3x=v. Do vzorca dosadíme hodnoty z našej funkcie.

Derivácia x sa bude rovnať jednej. Logaritmus je o niečo zložitejší. Ale princíp pochopíte, ak hodnoty jednoducho dosadíte. Pripomeňme, že derivácia lg x je deriváciou desiatkového logaritmu a derivácia ln x je deriváciou prirodzeného logaritmu (založeného na e).

Teraz jednoducho vložte výsledné hodnoty do vzorca. Skúste to sami, potom skontrolujeme odpoveď.

Čo tu môže byť pre niektorých problém? Zaviedli sme koncept prirodzeného logaritmu. Poďme sa o tom porozprávať a zároveň prísť na to, ako s tým riešiť problémy. Neuvidíte nič zložité, najmä keď pochopíte princíp jeho fungovania. Mali by ste si na to zvyknúť, pretože sa často používa v matematike (ešte viac na vysokých školách).

Derivácia prirodzeného logaritmu

Vo svojom jadre je to derivácia logaritmu so základom e (čo je iracionálne číslo, ktoré je približne 2,7). V skutočnosti je ln veľmi jednoduché, takže sa často používa v matematike všeobecne. Vlastne vyriešiť problém s ním tiež nebude problém. Stojí za to pripomenúť, že derivácia prirodzeného logaritmu so základom e sa bude rovnať jednej delenej x. Najvýraznejšie bude riešenie nasledujúceho príkladu.

Predstavme si to ako komplexnú funkciu pozostávajúcu z dvoch jednoduchých.

Stačí previesť

Hľadáme deriváciu u vzhľadom na x

Pri diferenciácii exponenciálnych mocninových funkcií alebo ťažkopádnych zlomkových výrazov je vhodné použiť logaritmickú deriváciu. V tomto článku sa pozrieme na príklady jeho aplikácie s podrobnými riešeniami.

Ďalšia prezentácia predpokladá schopnosť používať tabuľku derivácií, pravidlá diferenciácie a znalosť vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie.

Odvodenie vzorca pre logaritmickú deriváciu.

Najprv vezmeme logaritmy na základ e, zjednodušíme tvar funkcie pomocou vlastností logaritmu a potom nájdeme deriváciu implicitne špecifikovanej funkcie:

Napríklad nájdime deriváciu exponenciálnej mocninnej funkcie x na mocninu x.

Preberanie logaritmov dáva . Podľa vlastností logaritmu. Odlíšenie oboch strán rovnosti vedie k výsledku:

odpoveď: .

Rovnaký príklad možno vyriešiť bez použitia logaritmickej derivácie. Môžete vykonať niekoľko transformácií a prejsť od diferenciácie exponenciálnej mocninovej funkcie k nájdeniu derivácie komplexnej funkcie:

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie .

Riešenie.

V tomto príklade funkcia je zlomok a jeho deriváciu možno nájsť pomocou pravidiel diferenciácie. Ale kvôli ťažkopádnosti výrazu si to bude vyžadovať veľa transformácií. V takýchto prípadoch je rozumnejšie použiť logaritmický derivačný vzorec . prečo? Teraz to pochopíš.

Najprv to nájdime. Pri transformáciách budeme využívať vlastnosti logaritmu (logaritmus zlomku sa rovná rozdielu logaritmov a logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov a stupeň výrazu pod logaritmickým znamienkom môže byť vyrátaný ako koeficient pred logaritmom):

Tieto transformácie nás viedli k pomerne jednoduchému výrazu, ktorého derivát je ľahké nájsť:

Získaný výsledok dosadíme do vzorca pre logaritmickú deriváciu a dostaneme odpoveď:

Na konsolidáciu materiálu uvedieme niekoľko ďalších príkladov bez podrobných vysvetlení.

Príklad.

Nájdite deriváciu exponenciálnej mocninnej funkcie